Кратко — правильно: «по-старому» (через дефис) и «заочно» (слитно). «По старому» как самостоятельное сочетание (без продолжения) обычно неверно; «за очею» — некорректно.
Пояснение и критерии:
1) «по-» + форма, обозначающая способ действия (образ действия) пишется через дефис, если это наречие, образованное от прилагательного/местоимения в дательном (или от основ с окончаниями типа -ски, -цки): примеры — «по-старому», «по-новому», «по-нашему», «по-русски», «по-моему». Это самостоятельное наречие: «Он поступает по-старому».
2) Раздельно: когда «по» — предлог и за ним стоит имя (существительное или согласованное прилагательное с существительным или с подразумеваемым существительным), т.е. синтаксическая конструкция «по + (чему)»: «по старому мосту», «по вторникам», «по старому образцу». Если после «по старому» явно следует существительное, написание раздельное — корректно, но тогда это не наречие, а предлог + словосочетание.
3) Слитно: многие наречия, образованные суффиксальным способом (в том числе от прилагательных с суффиксом -очн- / -оч- или напрямую), пишутся слитно: «заочно» (от «заочный»), «заранее», «вовремя» и т.п. «За очею» — не слово и нарушает грамматику («за» как предлог требует падежа: «за очами» устар. — редко; но «за очею» неверно).
Проверка на практике: если выражение обозначает «образ/способ действия» и не требует зависимого существительного — используйте дефис (для «по-…»), или слитное написание, если это производное наречие. Если же «по» управляет существительным/существительным выражением — раздельно.