Кратко: в предложении «Ему хотелось петь и танец» нарушены параллелизм однородных членов и управление глагола «хотеться».
Почему неверно
- «хотелось» — безличный глагол с дательным носителем (кому? — «ему») и дополнением/инфинитивом, отвечающим на вопросы «чего?» (при имени существительном) или «что делать?» (при инфинитиве).
- В исходном варианте однородные члены «петь» (инфинитив) и «танец» (им. п., существительное) грамматически несовместимы: нарушается требование однородности форм и управление (для существительных при «хотелось» требуется род. падеж: «хотелось чего?»).
Корректные переформулировки (с объяснением падежей)
$‘1‘$ «Ему хотелось петь и танцевать.» — оба однородных члена в форме инфинитива; отвечают на вопрос «что делать?»; согласуются с «хотелось».
$‘2‘$ «Ему хотелось пения и танца.» — оба однородных члена — существительные в родительном падеже (отвечают на вопрос «чего?»); форма «танца» — род. п. от «танец», «пения» — род. п. от «пение».
$‘3‘$ «Он хотел петь и танцевать.» — личная конструкция с подлежащим «он» (им. п.), однородные инфинитивы; стилистически естественно и устраняет безличность.
$‘4‘$ «Ему хотелось петь и (ему) хотелось танцевать.» — если нужно подчеркнуть два желания раздельно; оба инфинитива или две однородные придаточные/фразы.
Краткое правило: при координации однородных членов формы должны совпадать (оба инфинитива или оба существительных в одном падеже).