Нет, оформлено неверно.
Правильно так (вариант, где слова автора перед прямой речью):
Он спросил: «Кто идёт?» И никто не ответил.
Или так (вариант, где прямая речь стоит первой и за ней следуют слова автора):
«Кто идёт?» — спросил он, и никто не ответил.
Объяснение кратко:
- Слова автора не должны быть заключены в кавычки — кавычки берут только самую прямую речь.
- Если слова автора предшествуют прямой речи, ставится двоеточие и прямая речь заканчивается своим знаком (вопросительным знаком) внутри кавычек; после закрывающих кавычек дополнительный дефис/тире не ставится — предложение заканчивается и дальше начинается новое.
- Тире после закрывающих кавычек ставится только когда прямая речь стоит перед словами автора («…?» — спросил он).