Кратко и по делу — управление и отличие значений.
1) добиваться / добиться
- Управление: обычно родительный: добиваться/добиться чего? — «добиваться признания», «добиться успеха».
- Если цель — получить что-то от кого-то: добиваться чего у кого — «добиваться поддержки у начальника», «добиться ответа от комиссии».
- Смысл: подчёркнутое стремление, процесс усилий и настойчивости; часто акцент на попытках и преодолении препятствий.
2) достигать / достичь
- Управление: родительный: достигать/достигнуть чего? — «достигать цели», «достичь вершины». Можно: «достигнуть в чём-то успеха».
- Иногда в значении физического «дотягиваться» употребляют с «до + род.»: «дотянуться до полки» (но это другой глагол).
- Смысл: фокус на факте достижения, на результате; нейтрально, без обязательного оттенка длительного усилия.
3) домогаться
- Управление и значения: двух основных значения.
a) Стремиться заполучить (литературно/негативно): домогаться чего? (род.) — «домогаться власти», «домогаться одобрения» (близко к «добиваться», но часто с оттенком недозволенности или настырности).
b) Приставать, домогательства (сексуальные, навязчивые действия): домогаться кого (вин.) или домогаться до кого/чего (с предлогом «до» + род.) — «он домогался девушки», «домогался до сотрудницы», «домогаться до чужого имущества» (в значении посягать).
- Смысл: в первом — попытка получить, часто с негативной окраской; во втором — навязчивые, неприемлемые действия по отношению к человеку или посягательство.
Краткие сводки различий:
- добиваться — процесс настойчивого добивания цели (управление: родительный; «у + род.» для лица, у кого добиваются);
- достигать — факт достижения результата (родительный);
- домогаться — либо настырно пытаться (с негативным оттенком), либо приставать/посягать (вин./«до + род.»).
Примеры:
- «Он добивается признания коллег» (род.).
- «Она добилась повышения у директора» (добиться + у + род.).
- «Проект достиг цели» / «достигнуть вершины» (род.).
- «Он домогался её» (вин., о приставаниях) / «домогался власти» (род., негативное стремление).