Правильно: «Я знаю, что он думает, что мы не готовы.» — запятые ставятся перед каждым союзом «что».
Почему: каждый союз «что» вводит придаточное предложение, которое отделяется запятой от предложения‑«матери» (главного или вышестоящего придаточного). Структура предложения:
- главная: $A$ — «Я знаю»;
- придаточное 1: $B$ — «что он думает …»;
- придаточное 2: $C$ — «что мы не готовы».
Между $A$ и $B$ ставится запятая, между $B$ и $C$ тоже, поэтому итоговая пунктуация — две запятые, как в приведённом варианте.