Общее правило: в составе сложных собственных наименований с прописной (заглавной) буквы пишут первое слово полного наименования и все слова, являющиеся собственными именами (географические названия, фамилии, имена и т. п.). Остальные слова — со строчной (см. справочники по орфографии и пунктуации).
Применение к «Всероссийский конкурс молодых учёных имени Ломоносова»:
- «Всероссийский» — с заглавной, потому что это первое слово полного наименования.
- «конкурс» — со строчной, это нарицательное слово в составе названия.
- «молодых» — со строчной, нарицательное определение.
- «учёных» — со строчной, нарицательное существительное.
- «имени» — со строчной, служебное слово в конструкции «имени + фамилия».
- «Ломоносова» — с заглавной, это собственное имя (фамилия), стоящее в родительном падеже.
Итоговое правильное написание: «Всероссийский конкурс молодых учёных имени Ломоносова».