Кратко — нужно различать три случая:
1) Дефис: пишется, когда образовано наречие от прилагательного с приставкой «по-» и оканчивается на $-ому/-ему$ или $-ски$ и отвечает на вопрос «как?». Правило: такие наречия пишутся через дефис.
Примеры: «по-новому» (как? — по-новому), «по-старому», «по-русски», «по-другому», «по-своему».
2) Раздельно: пишется, когда «по» — предлог, а за ним стоит существительное или прилагательное в дательном падеже (отвечает на вопрос «по чему? / по кому?»). Это выражение ≈ «согласно, в соответствии с».
Примеры: «по новому закону» (согласно новому закону), «по нашему плану», «по русскому правилу».
3) Слитно («понового»): для значения «по-новому» слитного варианта нет — «понового» как одна лексическая форма в таком смысле не употребляется; слитное написание будет ошибочным. (Слитные формы с «по-» встречаются лишь в составе других слов, но не для конструкции «по + прилагательное/наречие» значений, о которых выше.)
Контрастные примеры в паре:
- «Он сделал всё по-новому.» (наречие, дефис — как сделал?)
- «По новому плану старт через неделю.» (предлог + дательный — согласно какому плану?)
Итого: если это наречие «как?» — через дефис; если предлог «по» + дательный — раздельно; слитного «понового» для этого значения нет.