Разбор: главное предложение — «Я знаю», за ним идут два однородных изъяснительных придаточных: 1) «что он придёт», 2) «что он принесёт подарок», соединённых сочинительным союзом «и». Поскольку каждое придаточное вводится собственным подчинительным словом «что» и выступает как самостоятельная часть, между ними ставится запятая.
Итоговая пунктуация: «Я знаю, что он придёт, и что он принесёт подарок.»
Контраст: если «что» вводит только одно придаточное с двумя однородными сказуемыми — «Я знаю, что он придёт и принесёт подарок» — запятая не нужна.