Кратко и по делу.
Норма: $5$ килограммов яблок — измерительное слово «килограмм» в форме родительного множественного «килограммов», а «яблок» — родительный множественный (партитив): «пять килограммов яблок».
Возможные варианты и статус:
- $5$ килограммов яблок — нормативно (литературный стандарт).
- $5$ килограмм яблок — разговорный/просторечный вариант (фактически нулевая форма множественного); допустим в разговоре, в официальном стиле лучше избегать.
- $5$ килограмма яблок — распространённая разговорная ошибка (образуется по аналогии с формой для $2,3,4$); в литературной норме неверно.
Почему так:
- Правило согласований с количественными числительными: числа, оканчивающиеся на $1$ (но не на $11$) — имя в форме единственного (ном. ед.), числа, оканчивающиеся на $2,3,4$ (но не на $12\text{–}14$) — форма родительного единственного, числа, оканчивающиеся на $5\text{–}9,0$ или находящиеся в интервале $11\text{–}14$ — родительный множественный. Поэтому для $5$ положена форма родительного множественного «килограммов».
- Слово после меры («яблок») стоит в партитиве/родительном множественном, обозначая содержимое: «килограммов чего? — яблок».
Рекомендация: в письменной и официальной речи — «пять килограммов яблок».