Кратко — по значению: если это наречие «как раньше, всё ещё», пишется через дефис: по-прежнему. Если же это предлог по + прилагательное в дательном падеже, которое относится к существительному (то есть «по» управляет словосочетанием «прежнему + noun»), — раздельно: по прежнему.
Правило и тесты:
- Наречия, образованные сочетанием по- + dative (характерный способ действия) пишутся через дефис: по-новому, по-своему, по-прежнему. Отвечают на вопрос «как?» (Он по-прежнему опаздывает).
- Если «по» — предлог, а «прежнему» — прилагательное в дательном, стоящее перед существительным, — пишется раздельно: по прежнему адресу, по прежнему плану. Тут «по» относится к существительному, а не образует наречие.
Практическая проверка:
- Можно ли заменить на «как раньше/всё ещё»? — тогда пишем через дефис: «Он по-прежнему рад.»
- Можно ли ввести существительное после «прежнему» («по прежнему + [существительное]»)? — тогда раздельно: «Письмо пришло по прежнему адресу.»