Нельзя проверить эту букву подбором проверочного слова: в слове «солнышко» $ы$ не в корне, а в суффиксе. Разбор: «солн-ышк-о» (родственное слово «солнце», «солнечный» — корень «солн-»). Поскольку «ы» принадлежит суффиксу «-ышк-», его написание устанавливается морфологически (по правилу и словарю), а не проверкой ударением.