Нужно: «Он сказал, что придёт.»
Обоснование (кратко):
- Здесь «что» — подчинительный союз, вводящий изъяснительное придаточное (сообщает содержание сказанного).
- По правилу сложноподчинённого предложения главная и придаточная части разделяются запятой: Он сказал, что придёт.
Виды придаточных (кратко, для соотнесения):
- Изъяснительные (отвечают на вопросы что? о чём?): вводятся союзом «что», «чтобы», «как» и т. п.; перед «что» ставится запятая. Пример: «Я знаю, что ты прав.»
- Обстоятельственные (времени, причины, цели и т. п.): вводятся союзами «когда», «потому что», «если» и др.; тоже отделяются запятой, когда это придаточное.
- Определительные (отвечают на вопрос какой?): вводятся «который», «что» в значении «который»; обычно оформляются запятой в зависимости от конструкции.
Когда запятую не ставят (исключения):
- если «что» не союз, а, скажем, часть фразеологизма или указательного сочетания в других конструкциях (в таких примерах здесь нет).
- при оформлении прямой речи: «Он сказал: “Придёт.”» — двоеточие и кавычки вместо запятой.
Итог: в предложении «Он сказал что придёт» требуется запятая: «Он сказал, что придёт.»