Коротко: в предложении «Он пришёл и сел и заснул» запятая перед вторым «и» обычно не нужна — это ряд однородных сказуемых, соединённых повторяющимся сочинительным союзом «и».
Правила и пояснения:
$1$ Если несколько однородных членов (здесь — сказуемых) соединены повторяющимися союзами «и… и…», то запятые между ними не ставятся (они образуют простое перечисление): «Он пришёл и сел и заснул».
$2$ Запятая нужна, если вторая часть не является однородной, а представляет собой самостоятельное предложение (с собственным подлежащим или иной синтаксической структурой), либо если есть противопоставление/ограничение или вводная интонация. Примеры:
- Разные подлежащие: «Он пришёл, и она села.» — запятая нужна.
- Для интонационного или смыслового расчленения можно поставить запятую стилистически: «Он пришёл, и сел, и заснул» (подчёркивание последовательности) — но это авторский приём, а не стандартное требование.
Итог: в исходном предложении стандартно без запятой.