Правильное написание слова "вьющуюся" - "вьющуюся". Это причастие настоящего времени от глагола "виться". Глагол "виться" имеет корень "вит-", а суффикс -ущ-, отвечающий за образование причастий. Таким образом, слово "вьющуюся" пишется без буквы "и" в середине, так как это написание соответствует общим правилам русского языка.