Нет, слова "подагра" и "пождь" не могут быть отнесены к этимологически однокоренным. "Подагра" происходит от греческого слова "ποδάγρα" (podagra), что буквально переводится как "подобия" или "подражание песку", в то время как "пождь" имеет славянские корни и связано с понятием времени года (только поздняя осень и начало зимы).