Да, ваше предположение верно. Фраза "Я выражаю свой протест, свое возмущение тому, что происходит" звучит несколько громоздко и не совсем корректно с точки зрения лексики. Более правильным вариантом было бы, например, следующее: "Я выражаю свое возмущение по поводу того, что происходит".

И да, вы правильно заметили, что "возмущение" может выражаться по отношению к чему-то или кому-то, но не "чем-то". Таким образом, в данном случае следует использовать более точное выражение для передачи смысла.