Нет, в данном случае не будет ошибкой оставить "что". В предложении "Похоже, что меня либо разыгрывают, либо я все еще сплю" используется союз "что", который связывает два части предложения и указывает на причинно-следственное отношение между ними. Оставляя "что", предложение остается правильным и легко читаемым.