Слово "переборщить" имеет отношение к слову "перебор". Оно образовано от глагола "перебороть", который в данном контексте означает "наесться излишеством". Таким образом, слово "переборщить" обозначает действие, когда человек или животное съедают слишком много пищи, наелись до излишества. Поэтому это слово не имеет никакого отношения к борщу, это просто игра слов, которая могла возникнуть из-за созвучия.