Оба эти слова происходят от славянского корня "лож" или "лег". Исходно это слово означало "подстилка", "подкладка". Позже оно приобрело значения "место для лежания", "кровать" и "место для сидения" (в театре). Таким образом, слова "ложа" и "ложе" имеют общее происхождение и связаны с понятием лежания или укладывания.