Предложение "Новгородцы были большими любимцами писать письма" разбивается на следующие части:

Подлежащее: "Новгородцы"Сказуемое: "были"Дополнение: "большими любимцами"Дополнение: "писать письма"

Таким образом, предложение имеет структуру простого двусоставного предложения.