"Рикки-Тикки-Тави" - существительное, название персонажа."был" - глагол, прошедшее время от глагола "быть"."мангуст" - существительное, обозначающее вид животного.

Как подчеркивается:
Подчеркивается фразой, где представлен персонаж "Рикки-Тикки-Тави", а также указанием на его вид - мангуст.