Дуба в данном случае является обстоятельством, так как указывает на вид и происхождение плодов, описывает их. Обстоятельства обычно отвечают на вопросы "откуда?", "каким образом?", "где?" и т.д. В данном контексте слово "дуба" отвечает на вопрос "каким образом остаются плоды на дереве" - они остаются на дереве ДУБА до осени.