Выберу и обосную показатель α, затем оценю возраст и перечислю ограничения.
Выбор α:
- Оценка главной последовательности требует связи времени жизни с освещённостью: $\tau \sim M/L$. При аппроксимации закона массы-люминальности $L\propto M^{\beta }$ получаем $\tau \propto M^{1-\beta }$. В записи $\tau \approx 10^{10}(M/M_{\odot }{)}^{-\alpha }$ это даёт $\alpha =\beta -1$.
- Для звёзд порядка $1->2M_{\odot }$ обычно принимают $\beta \approx 3.5$ (приближённый закон массы–люминальности), значит разумный выбор — $\alpha \approx 2.5$. (Альтернативно берут $\alpha$ в диапазоне $\sim 2.5-3.5$ для оценки систематики.)
Расчёт для поворота при $M\approx 2M_{\odot }$ с $\alpha =2.5$:
$$\tau \approx 10^{10}{\left(\frac{2}{1}\right)}^{-2.5}=10^{10}\cdot 2^{-2.5}.$$ Вычислим $2^{2.5}=2^2\cdot 2^{0.5}=4\cdot 1.414\approx 5.657$, поэтому
$$\tau \approx \frac{10^{10}}{5.657}\approx 1.77\times 10^9\text{лет}\approx 1.8\text{Gyr}.$$
Чувствительность к выбору $\alpha$ и массе:
- При $\alpha =3.0$: $\tau \approx 10^{10}\cdot 2^{-3}=1.25\times 10^9\text{лет}$ (1.25 Gyr).
- При $\alpha =3.5$: $\tau \approx 8.8\times 10^8\text{лет}$ (0.88 Gyr).
То есть смена $\alpha$ в разумных пределах даёт разброс ~0.9–1.8 Gyr.
Оценка погрешности от погрешности массы:
$$\frac{\Delta \tau }{\tau }\approx -\alpha \frac{\Delta M}{M}.$$ Например, при $\Delta M/M=0.05$ и $\alpha =2.5$ даёт $\Delta \tau /\tau \approx -0.125$ (~12.5%).
Ограничения и систематические ошибки подхода:
- Зависимость от $\alpha$ (то есть от применённого закона $L(M)$): разные массы и эволюционные фазы дают разные $\beta$.
- Химический состав (металличность): более высокая $Z$ удлиняет время жизни при той же массе; эффект может быть десятки процентов.
- Конвективный овершутинг и микроскопические процессы (диффузия) в моделях удлиняют/укорочают MS-время — систематическое смещение ~10–30% или больше.
- Ротация и внутренний миксинг увеличивают время жизни (до нескольких десятков процентов для быстро вращающихся звёзд).
- Бинарность и слияния: компаньоны и синхронизация могут изменять яркость/положение поворотной точки и давать ложное значение массы.
- Наблюдательные ошибки: неопределённости фотометрии, диффузное поглощение и нелинейные преобразования цвета→температура влияют на определение массы поворотной звезды.
- Предварительная предпосылка «однородный одноэпоховый кластер» — реальный кластер может иметь разброс возрастов.
- Нормировка (в использовании $10^{10}$ лет для Солнца) предполагает точную солнечную модель; это даёт дополнительную систематику на уровне нескольких процентов.
Итог: при принятом $\alpha =2.5$ возраст скопления, если поворот отвечает массе $\sim 2M_{\odot }$, оценивается примерно
$$\tau \approx 1.8\text{Gyr},$$ с систематической неопределённостью порядка десятков процентов (вплоть до фактора ~2 при учёте разных моделей и эффектов: металличность, овершутинг, ротация, бинарность и т.д.).