Данные и общая идея
- Нужны: высокоточное фотовременное наблюдение затмений (много полос, высокая частота отсчёта) + фазово‑разрешённая спектроскопия (измерение радиальных скоростей обоих компонентов, спектральные параметры $T_{\mathrm{eff}},\log g$, возможный гравитационный сдвиг) и по возможности параллакс/SED.
- Смысл: фотометрия даёт геометрию системы (наклон $i$, масштабные радиусы $r_j=R_j/a$), спектроскопия даёт орбитальные скорости $K_j$ (массовое соотношение) и независимые оценки $M/R$ (через $\log g$ или гравитационный сдвиг). Комбинируем с законом Кеплера, чтобы получить абсолютные массы и радиусы.
Пошаговый метод (математика)
1) Период и радиальные скорости:
- Определите период $P$ и полуамплитуды $K_1$ (белая звезда), $K_2$ (субкарлик). Массовое соотношение:
$$q=\frac{M_2}{M_1}=\frac{K_1}{K_2}.$$ - Массовая функция для компонента 1:
$$f(M)=\frac{P{K}_1^3}{2\pi G}=\frac{(M_2\sin i{)}^3}{(M_1+M_2{)}^2}.$$
2) Геометрия из затмения:
- Подгонкой световой кривой (модели для двух звёзд: затмение, линей/квадратич. лимб‑тёмнение, отражение, возможная эллипсоидальность) определите наклон $i$, масштабные радиусы
$$r_1=\frac{R_1}{a},r_2=\frac{R_2}{a},$$ и параметр удара (impact parameter) $b$. Ингресс/эгресс и длительности полной фазы критически ограничивают $r_j$ и $i$.
3) Абсолютные массы:
- Полезная связь (для круговой орбиты) через суммы скоростей:
$$a\sin i=\frac{P(K_1+K_2)}{2\pi }.$$ - Тогда массы выражаются как
$$M_1=\frac{P{K}_2(K_1+K_2{)}^2}{2\pi G{\sin }^{3}i},M_2=\frac{P{K}_1(K_1+K_2{)}^2}{2\pi G{\sin }^{3}i}.$$
4) Абсолютные радиусы:
- Сначала получаем полупоссредний радиус орбиты
$$a={\left(\frac{G(M_1+M_2)P^2}{4{\pi }^2}\right)}^{1/3},$$ - затем
$$R_j=r_{j}a.$$
Дополнительные независимые ограничения (повышают точность / снимают вырожденности)
- Спектроскопическое $\log g$: $\log g=\log \frac{GM}{R^2}$ даёт коррелированное ограничение на $M$ и $R$.
- Гравитационный сдвиг линий белой звезды:
$$v_{\mathrm{grav}}\approx \frac{G{M}_{\mathrm{WD}}}{c{R}_{\mathrm{WD}}},$$ даёт независимую оценку отношения $M/R$ для белой звезды.
- Параллакс + SED/фотометрия: масштаб потока $F\propto (R/d{)}^2{T}_{\mathrm{eff}}^4$ даёт радиус при известном $T_{\mathrm{eff}}$ и расстоянии.
- Ротационное уширение линий и отражательная переменная могут добавить сведения о радиусе/синхронизации.
Основные допущения
- Орбита близка к круговой (если есть эксцентриситет, его надо учитывать в моделях).
- Линии спектра точно отражают движения центров масс (нет сильного смещения из‑за нагретых зон или потоков).
- Модели лимб‑тёмнения и модель атмосферы адекватны для вычисления глубины и формы затмения.
- Для гравитационного сдвига — локализация линии в белой звезде не искажена выступлением аккреции/формированием эмиссий.
Неразрешённые или трудноисправимые неопределённости
- Если система одно‑линейная (видна только одна $K$), то без дополнительной информации (наклон из полного тотального затмения или M–R отношение) абсолютные массы остаются неопределёнными (массы зависят от ${\sin }^{3}i$ и $M$–зависимости).
- Частичные/нецентральные затмения дают сильную корреляцию между $i$ и $r_j$ (вырожденность), особенно при плохом S/N или недостаточно коротких экспозициях для точной оценки ингресса/эгресса.
- Систематические ошибки в измерениях $K$ для белой звезды из‑за сильно расширенных (давлением) линий или наложения эмиссионных/иррадиационных компонентов; это даёт смещение масс.
- Погрешности лимб‑тёмнения и эффекты отражения/споттинга ведут к систематическим отклонениям в $r_j$.
- Неопределённость состава/энвела белой звезды (С/O, толщина оболочки H/He) влияет на теоретическую M–R‑кривую, если вы используете её как априор.
- Измерение гравитационного сдвига часто ограничено систематикой на уровне нескольких км/s — значимо для маленьких $R_{\mathrm{WD}}$ но не всегда достаточно точно.
Краткий вывод
- При наличии двухполосной/мульти‑полярной высококачественной световой кривой затмения (точный ингресс/эгресс) и обоих $K_1,K_2$ можно однозначно (в пределах статистических+систематических ошибок) восстановить $M_1,M_2,R_1,R_2$ через приведённые формулы.
- В отсутствии одного из ключевых наборов данных (второй $K$, точный $i$, параллакс или надёжный $v_{\mathrm{grav}}$) сохранятся фундаментальные вырождения: масштаб масс/радиусов и корреляции $i$–$r_j$.