Краткая формулировка модели и способ восстановления размеров и истории столкновений.
1) Компоненты физической модели
- Коллизионный каскад: популяция зерен с функцией числа $n(a,r,t)$ (число на единицу радиуса и объёма). Разрушение крупных тел порождает меньшие частицы; при установившемся стационарном каскаде обычно получают степенной закон
$$n(a)\propto a^{-q}.$$ Классический Дохнаньи даёт $q=3.5$, но реальное $q$ зависит от механической прочности (критическая энергия разрушения $Q_D^{\ast }(a)$) и от удаления малых частиц радиационным давлением.
- Радиативные силы и выброс: отношение радиационного давления к гравитации
$$\beta (a)=\frac{3L_{\ast }{Q}_{\mathrm{pr}}}{16\pi cG{M}_{\ast }\rho a},$$ и «граничный» (blowout) размер $a_{\mathrm{blow}}$ определяется из $\beta (a_{\mathrm{blow}})\simeq 0.5$. Частицы с $a<a_{\mathrm{blow}}$ быстро выбрасываются.
- Диссипация: важные временаcкалы
- коллизионный: можно оценить как
$$t_{\mathrm{coll}}\sim \frac{P}{4\pi \tau },$$ где $P$ — орбитальный период в поясе, $\tau$ — вертикальная оптическая толщина;
- Poynting–Robertson (PR) drag (ордер величины):
$$t_{\mathrm{PR}}\approx 400\mathrm{yr}\frac{\rho }{1\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}}\frac{a}{1\mu \mathrm{m}}{\left(\frac{r}{1\mathrm{AU}}\right)}^2\frac{L_{\odot }}{L_{\ast }}.$$ Сравнение $t_{\mathrm{coll}}$ и $t_{\mathrm{PR}}$ показывает, доминирует ли коллизионная переработка (чаще в плотных поясах) или радиационная миграция.
- Тепловой баланс и температура зерен:
$$\int Q_{\mathrm{abs}}(a,\nu )F_{\ast ,\nu }d\nu =\int Q_{\mathrm{abs}}(a,\nu )4\pi B_{\nu }(T(a,r))d\nu ,$$ приблизительно для больших зерен $T\sim (L_{\ast }/(16\pi \sigma r^2){)}^{1/4}$, мелкие зерна нагреваются сильнее из-за зависимости $Q_{\mathrm{abs}}$.
2) Расчёт наблюдаемого излучения (SED, изображения)
- Эмиссия в оптически тонком поясе:
$$F_{\nu }=\frac{1}{D^2}\int \int n(a,r)\pi a^2{Q}_{\mathrm{abs}}(a,\nu )B_{\nu }(T(a,r))dadV.$$ Здесь $Q_{\mathrm{abs}}(a,\nu )$ — коэффициент поглощения/излучения (в пределе $a\ll \lambda$: $Q_{\mathrm{abs}}\propto (a/\lambda {)}^m$; при $a\gg \lambda$: $Q_{\mathrm{abs}}\to 1$).
- На длинных (мм) волнах в режиме Рэлея — Джайнса для оптически тонкой пыли:
$$F_{\nu }\propto {\nu }^{2+\beta },$$ где $\beta$ — индекс оптической толщины (${\kappa }_{\nu }\propto {\nu }^{\beta }$). Значение $\beta$ чувствительно к размерам: крупные зерна дают $\beta \to 0$, малые — $\beta \sim 1-2$.
3) Как из наблюдений восстанавливают размеры и историю столкновений
- Минимальный размер $a_{\min }$: определяется сочетанием $a_{\mathrm{blow}}$ (из параметров звезды и предполагаемой плотности $\rho$) и наличием субблоутинговых частиц, наблюдаемых в инфракрасных спектральных признаках (силикатная 10 μm линия сильно выражена при присутствии субмикронных зерен). Практически: модель SED + спектр 10 μm дают $a_{\min }$.
- Функция размеров $q$ и максимальный размер $a_{\max }$: индекс спектрального наклона в субмм–мм ($\alpha$) связан с $\beta$ и через неё с распределением размеров. В приближении Р-Д:
$$\beta \approx \alpha -2,$$ и для степенного распределения $n(a)\propto a^{-q}$ при известной оптической функции $Q_{\mathrm{abs}}$ можно восстановить $q$ и долю крупных зерен (а значит $a_{\max }$). Малые значения $\beta \lesssim 1$ указывают на наличие миллиметровых и больших частиц.
- История столкновений и режим работы пояса:
- Если $t_{\mathrm{coll}}\ll t_{\mathrm{PR}}$: пояс коллизий доминирует; SED и изображение соответствуют стационарному каскаду, ожидается близкий к степенному $q$ и яркий субмм/мм сигнал (много больших частиц).
- Если $t_{\mathrm{PR}}\lesssim t_{\mathrm{coll}}$: значим перенос частиц и дефицит мелких остатков; это отразится увеличением $a_{\min }$ и изменением спектра.
- Столкновения большого тела (катастрофическое событие) дадут временное увеличение малого зерна — усиливается коротковолновая ЭМИССИЯ и силовые особенности спектра (увеличение фракции мелких частиц), затем по мере удаления/коллизий спектр возвращается к стационарному.
- Дополнительные диагностические данные:
- Разрешённые образы (ALMA, SPHERE): пространственное распределение пояса (ширина, смещение, асимметрии) даёт уровень возбуждения (stirring) и места повышенной коллизийной активности;
- Поляризация и цвет рассеяния в видимом/ближнем ИК чувствительны к размеру и форме частиц;
- Спектральные признаки (10 μm, 20 μm) определяют наличие субмикронной/микронной пыли и степень кристалличности.
4) Практический алгоритм восстановления (рекомендация)
- Собрать многодовольную наблюдательную базу: фотометрия/спектры в NIR–FIR–submm, разрешённые изображения и спектры 10 μm.
- Построить физическую модель: кинетическое уравнение для $n(a,r,t)$ с учётом коллизий (с заданной зависимостью $Q_D^{\ast }(a)$), радиационного давления, PR и, при необходимости, газового трения.
- Синтезировать SED и изображения по формуле
$$F_{\nu }=\frac{1}{D^2}\int n(a,r)\pi a^2{Q}_{\mathrm{abs}}(a,\nu )B_{\nu }(T(a,r))dadV,$$ и выполнить параметрическую или байесовскую подгонку параметров: $q$, $a_{\min }$, $a_{\max }$, масса пояса, $Q_D^{\ast }$, уровень возбуждения (v_rel).
- Проверить согласованность: соответствие $a_{\min }$ с $a_{\mathrm{blow}}$, сравнение времен $t_{\mathrm{coll}}$ и $t_{\mathrm{PR}}$, временная эволюция (если есть многолетние наблюдения).
5) Ограничения и погрешности
- Деградации: $q$ и $a_{\max }$ частично коррелируют; спектральная информация на длинных волнах жизненно важна для определения больших зерен.
- Микрофизика $Q_{\mathrm{abs}}$ и состав зерен (силикат/углерод/лед) вносят систематическую неопределённость в восстановление размеров.
- Нестaционарные события (гигантские столкновения) требуют временных серий наблюдений.
Короткое резюме: комбинируя физику коллизий (степенной размерный спектр с поправками от $Q_D^{\ast }$ и волновыми эффектами при удалении мелких частиц), временаcкалы $t_{\mathrm{coll}}$ и $t_{\mathrm{PR}}$, расчёт $a_{\mathrm{blow}}$ и синтез спектров через интеграл по $n(a,r)$ и $Q_{\mathrm{abs}}$,
$$F_{\nu }=\frac{1}{D^2}\int n(a,r)\pi a^2{Q}_{\mathrm{abs}}(a,\nu )B_{\nu }(T(a,r))dadV,$$ можно восстановить минимальные и максимальные размеры, индекс распределения $q$ и судить о режимах коллизий/диссипации и о недавних катастрофических событиях.