Пошагово (коротко и чётко).
1) Параллельный перенос (перенести отрезок $AB$ так, чтобы его начало совпало с заданной точкой $A^{\prime }$; получить $A^{\prime }{B}^{\prime }$, параллельный $AB$ и равный ему).
Шаги:
1.1. Постройте через точку $A^{\prime }$ прямую, параллельную прямой $AB$. Один надёжный способ — копирование угла:
- Возьмите произвольную точку $C$ на прямой $AB$ ( $C\ne A$ ). Проведите отрезок $C{A}^{\prime }$.
- Около вершины $A$ проведите дугу радиуса $r$ (любого, пересекающего обе луча угла $\angle CAB$) и отметьте точки пересечения с лучами: $E$ (на $AC$) и $F$ (на $AB$).
- С тем же радиусом $r$ проведите дугу с центром в $A^{\prime }$, она пересечёт луч $A^{\prime }C$ в точке $E^{\prime }$.
- Измерьте компасом расстояние $EF$ и от центра $E^{\prime }$ с тем же радиусом постройте пересечение дуги в точке $F^{\prime }$.
- Проведите луч $A^{\prime }{F}^{\prime }$. Этот луч параллелен $AB$.
1.2. Откройте циркуль на длину $AB$ (установите радиус на расстояние между $A$ и $B$).
1.3. С центром в $A^{\prime }$ проведите дугу с этим радиусом; она пересечёт построенную в шаге 1.1 прямую в точке $B^{\prime }$. Тогда отрезок $A^{\prime }{B}^{\prime }$ равен $AB$ и параллелен $AB$.
Обоснование: шаг 1.1 даёт прямую, параллельную $AB$; шаг 1.3 переносит длину $AB$ вдоль этой прямой.
2) Деление отрезка $PQ$ на $n$ равных частей (дан $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$).
Шаги:
2.1. От точки $P$ проведите произвольный луч $PR$ под удобным углом к $PQ$.
2.2. На луче $PR$ отложите последовательно $n$ равных шагов: отметьте точки $R_1,R_2,\dots ,R_n$ так, чтобы $P{R}_1=R_1{R}_2=\cdots =R_{n-1}{R}_n$. Это делается циркулем: фиксируете удобный шаг $s$ и по нему проставляете точки.
2.3. Соедините точку $R_n$ с точкой $Q$.
2.4. Через каждую из точек $R_1,\dots ,R_{n-1}$ проведите прямые, параллельные отрезку $R_{n}Q$ (параллельность строится методом копирования угла, как в пункте 1.1). Эти прямые пересекут исходный отрезок $PQ$ в точках $P_1,P_2,\dots ,P_{n-1}$.
Результат: точки $P,P_1,P_2,\dots ,P_{n-1},Q$ делят $PQ$ на $n$ равных частей; длина каждой части равна $\frac{|PQ|}{n}$.
Краткое объяснение корректности: треугольники, образованные лучом $PR$, линиями через $R_k$ и отрезком $PQ$, попарно подобны, поэтому отрезки на $PQ$ пропорциональны числу шагов; именно $P_k$ делит $PQ$ в отношении $k:n$, т.е. длина каждого малого отрезка равна $\frac{|PQ|}{n}$.
Примечание: выбор шага $s$ на луче $PR$ свободен; главное — проставить ровно $n$ равных частей.
3) Практические применения
Машиностроение (минимум 2):
- Разметка отверстий на фланцах и дисках: равномерное деление окружности/отрезка для расположения болтов, шпилек и т.п. (деление отрезка/угла обеспечивает равные интервалы, например деление биссектрисы для построения делений окружности).
- Перенос профиля/шаблона: при тиражировании детали (фасонный шаблон) нужно параллельно перенести отрезки и профили для получения одинаковых копий или для смещения осей (смещение пазов, вынос центров сверления).
- Разметка шагов зубьев шестерёнки или пазов: точная разбивка длины окружности/дуги на равные части перед изготовлением.
Архитектура (минимум 2):
- Модульная разбивка фасада и плана: деление длины фасада на равные модули для расположения окон, колонн, панелей (деление отрезка на $n$ частей).
- Смещение элементов и копирование деталей плана: параллельный перенос контуров и линий для создания одинаковых ярусов, балконов, повторяющихся элементов (перенос отрезка/оси).
- Разметка ступеней и поручней: равномерное распределение опор/балясин вдоль перил и равные подступёнки/наступи для лестницы.
Если нужно — могу привести иллюстрацию глаголом (конкретные рисунки шагов) или разбор частного примера (например, деление на $n=7$ или перенос отрезка заданной длины).