Кратко о сути и об области применимости.
Что измеряют (формулы)
- Коэффициент Джини: $$G=\frac{{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n|x_i-x_j|}{2n^2\mu },$$ где $x_i$ — доходы (или потребление), $n$ — число наблюдений, $\mu$ — средний доход. Джини сводит распределение к одной величине, учитывая разницы между всеми парами.
- Соотношение 90/10: $$R_{90/10}=\frac{Q_{90}}{Q_{10}},$$ где $Q_p$ — $p$-й перцентиль (часто 90-й и 10-й). Фокусируется на относительном разрыве между верхним и нижним девятым-децилем.
- Индекс Пальма: $$P=\frac{S_{10}}{S_{40}},$$ где $S_{10}$ — доля дохода, получаемая верхними 10\%, а $S_{40}$ — доля, приходящаяся на нижние 40\%. Отражает соотношение богатейших к наиболее уязвимым частям населения.
Когда более информативен каждый
- Джини — лучше для однозначной агрегированной характеристики "общей" неравенства по всей массе распределения; удобен для долгосрочных и международных сравнений. Но он наиболее чувствителен к перемещениям в средней части распределения и менее — к крайне верхним/нижним хвостам.
- 90/10 — информативен, когда важен разрыв между низом и верхом (политика доступности, мобильность, социальная стратификация). Очень чувствителен к изменениям в конкретных перцентилях и к выбору порогов.
- Пальма — полезен, если важна политика распределения между явным беднейшим (нижние 40%) и очень богатыми (верхние 10%). Основан на эмпирии, что средняя половина (50%) часто стабильна, поэтому сосредоточение на хвостах даёт ясную политико-экономическую картину.
Преимущества/ограничения и примеры вводящего в заблуждение одномерного вывода
- Разные меры подчёркивают разные участки распределения: два распределения могут иметь одинаковый $G$, но очень разные верхние доли — тогда $P$ и $R_{90/10}$ покажут существенные различия. Аналогично, одинаковые $R_{90/10}$ не означают одинаковую структуру среднего слоя.
- Склонность к чувствительности: $R_{90/10}$ и $P$ сильно зависят от хвостов и порогов; их колебания могут быть вызваны несколькими богатыми домохозяйствами или изменением в отдельных перцентилях. Джини менее чувствителен к экстремальным выбросам верхушки.
- Неоднозначный ранжир: если лоренцевы кривые пересекаются, разные показатели могут давать противоположные выводы о том, где выросло неравенство.
- Потеря информации: одномерный показатель скрывает форму распределения (например, возрастание неравенства в верхнем хвосте и улучшение внизу могут компенсировать друг друга в одном числе).
Практическая рекомендация
- Не полагаться на один показатель. Использовать минимум: лоренцеву кривую + коэффициент Джини + хвостовые показатели (например, $R_{90/10}$ и $P$) + доли перцентилей; при необходимости — показатель из семейства энтропий (Theil) для декомпозиции по группам. Это даёт и агрегированную картину, и понимание, в каких частях распределения происходят изменения.