Для решения этой задачи нам нужно разбить пирамиду на две части: основание (четырехугольник) и четырехугольный пирамидальный бегунок, высота которого равна апофеме.

Обозначим длину стороны основания пирамиды как a, соответственно, его площадь будет равна S = a^2.

На основании данной информации мы можем найти радиус вписанной окружности в основание пирамиды:

r = a / 2

Также, с учетом того что угол при ребре основания пирамиды равен 45°, мы можем выразить сторону четырехугольного пирамидального бегунка:

b = 2r sin(45°) = r √2 = a / 2 * √2

Теперь мы можем найти высоту четырехугольной пирамиды:

h = √(a^2 - b^2) = √(a^2 - (a / 2 * √2)^2) = √(a^2 - a^2 / 2) = √(a^2 / 2) = a / √2

Таким образом, мы нашли, что апофема пирамиды равна:

l = h = a / √2 = 4 см

Теперь мы можем найти обьем пирамиды с помощью формулы для объема пирамиды:

V = (1/3) S h = (1/3) a^2 a / √2 = a^3 / (3 √2) = (2 √2 * cm^3) / 3

V ≈ 3.77 см^3

Таким образом, объем данной правильной четырехугольной пирамиды равен примерно 3.77 см^3.