Краткий план эксперимента + обработка (школьный/студенческий).
1) Оборудование и материалы
- Микроскоп (оптический, 40–100×), камера (видеосъёмка ≥30 fps), эталонная микрометрическая шкала для калибровки пикселей.
- Частицы: дисперсия монодисперсных полистирольных шариков (latex) диаметром $0.2-2\mu$m или пыльца; деионизированная вода.
- Камперы для образца: предметное стекло + прокладка (пленка или клейкая лента толщ. ≈100–500 µm) + покровное стекло, герметизация.
- Программное обеспечение: ImageJ/Fiji (TrackMate) или любой трекер для позиций частиц.
2) Подготовка образца
- Приготовить очень разведённую суспензию (чтобы частицы не перекрывались), капля между стеклом и покровным стеклом, герметизировать, ждать 5–10 мин для затухания конвекции/завихрений.
- Прокалибровать масштаб: получить $s$ (м/пикс) с помощью микрометра.
3) Съёмка
- Снимать видеоролик длительностью несколько десятков секунд — минут при кадррейте $f$ (например $30-120$ fps). Убедиться, что среднее перемещение за один кадр больше погрешности локализации (порядка $0.05-0.2$ пикселя) и не слишком большое, чтобы частички не выходили из кадра.
4) Выделение треков и калибровка
- Трекер даёт набор траекторий ${\mathbf{r}}_i(t_j)$ в пикселях. Перевести в метры: ${\mathbf{r}}_i^{(m)}=s{\mathbf{r}}_i^{(px)}$.
5) Вычисление среднеквадратичного смещения (MSD)
- Для лагов $\tau =n\Delta t$ ($\Delta t=1/f$) вычислить усреднённое по всем траекториям и времени:
⟨Δr2(τ)⟩ = 1M∑i,t∣ri(t+τ)−ri(t)∣2, \langle \Delta r^2(\tau)\rangle \;=\; \frac{1}{M}\sum_{i,t} \big|\mathbf{r}_i(t+\tau)-\mathbf{r}_i(t)\big|^2,
⟨Δr2(τ)⟩=M1 i,t∑ ri (t+τ)−ri (t) 2, где сумма по всем допустимым стартовым временам и трекам, $M$ — число слагаемых.
- Если есть систематический дрейф, вычесть среднюю скорость: ${\mathbf{r}}_i(t)\leftarrow {\mathbf{r}}_i(t)-{\mathbf{v}}_{drift}t$, где ${\mathbf{v}}_{drift}$ оценивают как среднее по частицам.
- Учитывать погрешность локализации $\sigma$: для малых лагов модель
$$⟨\Delta r^2(\tau )⟩=4D\tau +4{\sigma }^2$$ (проекция в плоскости; для полной 3D: $6D\tau$).
6) Оценка коэффициента диффузии $D$ - Построить $⟨\Delta r^2(\tau )⟩$ vs $\tau$. При диффузионном режиме зависимость линейна для малых и средних $\tau$. Наклон линии равен $4D$:
$$D=\frac{1}{4}\frac{d}{d\tau }⟨\Delta r^2(\tau )⟩.$$ - Учесть и вычесть вклад ${\sigma }^2$ по перехвату при $\tau \to 0$.
7) Оценка размера частицы (Stokes–Einstein)
- Для сферической частицы в вязкой жидкости:
$$D=\frac{k_{B}T}{6\pi \eta a},$$ откуда радиус
$$a=\frac{k_{B}T}{6\pi \eta D},$$ где $k_B$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура, $\eta$ — вязкость жидкости (для воды взять $\eta (T)$ из таблицы).
8) Примерные числовые ориентиры
- Для шарика $a=0.5\mu$m при $T=293$ K и $\eta \approx 10^{-3}$ Pa·s получаем $D\sim 4\times 10^{-13}$ m${}^2$/s; средн. смещение в плоскости за $0.1$ с порядка $\sqrt{4D\tau }\sim 0.4\mu$m — измеримо в оптическом микроскопе.
9) Ошибки и рекомендации
- Нужна статистика: десятки—сотни траекторий для снижения случайной погрешности.
- Контроль температуры и вязкости.
- Удалять дрейф/конвекцию; использовать низкую площадь сушки и герметизацию.
- Учитывать, что пыльца/неправильные частицы дают ошибки — предпочтительны монодисперсные шарики.
- Оценить погрешность по стандартной ошибке наклона при линейной регрессии и распространению ошибок в формуле для $a$.
Коротко: снять траектории частиц, вычислить MSD, по линейному закону $⟨\Delta r^2(\tau )⟩=4D\tau$ найти $D$, затем по Stokes–Einstein $a=\frac{k_{B}T}{6\pi \eta D}$ оценить размер частиц.