Поясню по пунктам, кратко и по существу: что для каждой позиции значит «существование» абстрактных объектов (числа, свойства) и какие эмпирические/логические аргументы за и против.
1) Платонизм (платонова онтология)
- Что значит «существуют»: абстрактные объекты существуют независимо от мыслей и вещей, в нематериальной, неспацио‑темпоральной степени бытия. Они были, есть и будут необходимыми — не причинно‑эффективны и не находятся в мире вещей.
- Поддерживающие аргументы:
- Инструментальный/квиноевский аргумент незаменимости: математические объекты необходимы для успешных научных теорий, следовательно, мы обязаны к их онтологическому принятию (Quine–Putnam).
- Математическая объективность и аподиктичность: истины математики кажутся необусловленными эмпирией; это объясняется существованием независимых абстрактных объектов.
- Модальные/платонические интуиции: необходимость и универсальность математических утверждений лучше согласуются с реальностью абстрактных сущностей.
- Проблемы/контраргументы:
- Проблема эпистемологии (Benacerraf): как мы имеем достоверное знание о нефизических, не причинно‑взаимодействующих объектах?
- Онтологическая «дорогостоимость» (Оккам): вводит богатую онтологию вне эмпирического доступа.
- Конфликт с натуралистической картиной (отсутствие места в физическом мире).
2) Аристотелизм (имманентный реализм / формализм в аристотелевском духе)
- Что значит «существуют»: универсалии/свойства реальны, но существуют только как аспекты/формы конкретных вещей (имманентно). «Форма» не отделена от материи; существование свойства — это его инстанцирование в предметах. Универсалии не автономны и не находятся в отдельной «царстве форм».
- Поддерживающие аргументы:
- Соответствие научной практике: науки говорят о свойствах и родах как об имеющих реальную основу в конкретных объектах; это даёт посильную онтологию без отдельного нефизического царства.
- Эпистемический выигрыш: знание о свойствах объясняется наблюдением и абстракцией из конкретных случаев (нет мистической связи).
- Решение проблемы пустых универсалий: если свойство не инстанцировано, его статус проблематичен (аристотелизм легко утверждает, что неинстанцированные свойства либо не существуют, либо имеют иной статус).
- Проблемы/контраргументы:
- Объяснительная сила для «чистых» математических объектов (например, натуральных чисел как идеальные множества) менее очевидна — требуется дополнительная теория чисел как свойств множеств.
- Нужно объяснять множественность инстанцирований одного универсалия (проблема «третий человек» и т.д.), и роль абстракции.
3) Натуралистический материализм (редукционизм / номинализм)
- Что значит «существуют»: существуют только физические (или функционально реализуемые) объекты и явления; «абстракты» либо редуцируются к физическим токенам/процессам, либо отрицаются как отдельная онтологическая категория (варианты: номинализм, тропизм, конструктивизм, формализм).
- Примеры трактовок: числа — физические символы/схемы; свойства — классы токенов, тропы (частные свойства), либо просто языковые конвенции.
- Поддерживающие аргументы:
- Принцип методологического натурализма: онтология должна соответствовать лучшей научной картине мира; если наука не требует нефизических объектов, не следует их вводить (экономия, эмпирическая приверженность).
- Эмпирическая тестируемость и причинная роль: материализм требует, чтобы то, что «существует», имело место в причинных объяснениях; абстрактные объекты, не будучи причинно эффективными, лишние.
- Пояснения успеха математики через когнитивную, историко‑социальную и формальную модели (конструкция символов, доказательные практики).
- Проблемы/контраргументы:
- Объяснение объективности и необходимости математических истин: если числа — лишь токены или конвенции, как сохранить аподиктичность?
- Некоторым формам номинализма трудно восстановить полную силу математического дискурса (комбинаторика больших теорий, трансфинитная математика).
- Формализм/конструктивизм может казаться отступлением от интуиции о «истинности» математических утверждений.
Краткое сравнение по ключевым критериям
- Онтологическая широта: платонизм >> аристотелизм > материализм (платонизм самый онтологически «богатый»).
- Где «находятся» абстракты: вне мира / нематериальны (платонизм); в вещах как инстанции (аристотелизм); не‑существуют отдельно, редуцируются или являются конструкциями/тропами/языковыми сущностями (материализм).
- Эпистемология: платонизм нуждается в объяснении доступа (интуиция, незаменимость); аристотелизм апеллирует к абстракции из опыта; материализм объясняет через когнитивные и социальные механизмы.
- Эмпирические/логические аргументы в пользу: незаменимость и успех науки (платонизм/структурализм); соответствие практикам и причинности (аристотелизм, материализм); онтологическая экономия и методологический натурализм (материализм).
Коротко о возможных «средних» вариантах
- Структурализм: сохраняет объектность математических структур, но понимает их как роли в системах; может сочетать элементы платонизма (реальность структур) и натурализма (экземпляры структур в физике/теории).
- Тропизм/латентный реализм: свойства как конкретные «тропы» (материалистическая альтернатива универсалиям), близко к аристотелизму по фокусу на конкретности.
Вывод (в одну фразу): платонизм признаёт абстракты как независимые, необходимые сущности; аристотелизм признаёт их реальными, но только как формы, инстанцированные в вещах; натуралистический материализм либо редуцирует абстракты до физических/психических/языковых сущностей, либо отрицает их отдельное существование — выбор между позициями определяется тем, как вы цените онтологическую экономию, объяснительную силу и способ согласовать объективность математики с эмпирическим мировоззрением.