Кратко и по существу.
Основные парадоксы и их механизм
- Лжец (Liar). Утверждение «это утверждение ложно» даёт самоссылку и противоречие: если положить такое предложение $L$ с содержанием «$L$ ложно», то формально возникает $L\leftrightarrow \neg \mathrm{True}(┌L┐)$ (в простейшей форме $L\leftrightarrow \neg L$). Механизм: самоссылка + двухзначная классическая логика.
- Расселев парадокс (множества). Наивное дополнение «множество всех множеств, не принадлежащих самим себе» ведёт к $R\in R⟺R\notin R$. Механизм: непредусмотренное схватывание/компрехенсия.
- Греллинг — Нельсон (heterological). Свойство «неописательное самому себе» создаёт аналог лжеца через термины — опять самоссылка.
- Карри-парадокс. Существование формулы‑фикс‑точки $C$ с $C\leftrightarrow (C\to Q)$ даёт по классической логике произвольное $Q$. Механизм: фикс‑точка + неограниченный предикат истинности + импликация.
- Парадокс Берри. Через описание «наименьшего неописуемого числа» получается самопротиворечивое описание — проблема описательности/кодирования.
- Теорема о неопрределимости истины (Тарский). Для достаточно выразительных формальных языков нет внутреннего предиката $T(x)$ такого, что для всех формул $\phi$ выполняется
$$\forall \phi (T(┌\phi ┐)\leftrightarrow \phi ).$$ Механизм: диагонализация/самоссылка делает такой предикат противоречивым.
- Теорема неполноты Гёделя. В любой непротиворечивой, рекурсивно аксиоматизируемой теории, содержащей арифметику, существует формула $G$ такая, что
$$G\leftrightarrow \neg \mathrm{Prov}(┌G┐),$$ то есть «я недоказуема». Следует: либо теория неполна (есть истинные, но недоказуемые высказывания), либо она противоречива. Механизм: диагонализация/формализация доказуемости.
- Теорема Лёба и связанный риск (для предикатов доказуемости) показывает дополнительные ограничения на то, как формально вести рассуждения о доказуемости и истине.
Что это говорит о пределах формальной логики (выводы)
- Невозможность «всёобъемлющей» одноступенчатой формулы истинности: в достаточно богатом языке нельзя ввести внутренний предикат истины, удовлетворяющий всем интуитивным требованиям (тотальность, композициональность и т. п.) без противоречий.
- Самоссылка и диагонализация — универсальные инструменты, порождающие парадоксы; любой формализм, в котором можно кодировать синтаксис и строить фикс‑точки, подвержен этим ограничениям.
- Формальные системы вынуждены жертвовать чем‑то:
- вводить иерархию языков/метаязыков (Тарский),
- делать предикат истинности частично определённым (теория фикс‑точек Крипке),
- ограничивать схему компрехенсии (в аксиоматических теориях множеств: ZFC),
- ослаблять классическую логики (параконсистентные или неоднозначные логики),
- или мириться с неполнотой (Гёдель).
- Практический вывод: формальная логика хорошо описывает и манипулирует ограниченными, формализуемыми фрагментами истины, но не позволяет в рамках одной полной, рекурсивной, непротиворечивой системы «зафиксировать» всю истину о себе самой.
Короткое резюме
Парадоксы показывают, что «всёобъемлющая истина» не может быть формально задана внутри того же языка без потери согласованности, полноты или декларируемой алгоритмичности; любой путь требует компромисса (иерархия, частичная правда, ослабление логики или признание неполноты).