Кратко о логической структуре и способах формализации.
1) Структура парадокса. Классическая формулировка — предложение L, утверждающее о себе, что оно ложно. Формализуют это как
$L\leftrightarrow \neg T(┌L┐)$,
где $T(\cdot )$ — предикат «истинно», а $┌L┐$ — код (цитата) предложения $L$. Если в языке справедлив принцип наивной истинности (T‑схема)
$$\forall \phi (T(┌\phi ┐)\leftrightarrow \phi ),$$ то подстановка $\phi :=L$ даёт
$$T(┌L┐)\leftrightarrow \neg T(┌L┐),$$ откуда в классической логике немедленно следует противоречие $T(┌L┐)\wedge \neg T(┌L┐)$. Источники парадокса: (а) самореференция, (б) наличие всеобъемлющего предиката истины, (в) классическая логика с бивалентностью и принципом взрыва.
2) Основные способы формализации, устраняющие противоречие (с краткими последствиями).
- Tarski (иерархия языков / типизация).
- Идея: разделить языки на уровни, предикат истины для уровня $n$ может говорить только о высказываниях уровня $<n$. Самореференция, дающая L, запрещается.
- Последствия: сохраняется классическая логика и T‑схема внутри уровня, но нет единого глобального предиката «истинно» для всего языка; формальная «истина» для данного языка не определима внутри него (связано с теоремой Тарского).
- Крипке‑фикс‑точки (Kripke, теория частичной истины).
- Идея: рассматривать предикат истины как частичный; определить оператор расширения значений и взять наименьшую частичную фикс‑точку. Круговые предложения (включая L) оказываются неопределёнными (без значения «истина»/«ложь»).
- Последствия: отказываются от бивалентности для некоторых предложений; сохраняются многие интуитивные свойства T‑схем в пределах «заземлённых» предложений; можно формализовать в классической логике с трехзначной семантикой (или частичной).
- Супервалуационизм (gappy‑подход).
- Идея: множество «точных» интерпретаций (precisifications); предложение считается истинным, если истинно во всех точных интерпретациях, ложным, если ложно во всех; иначе — «неопределимо».
- Последствия: сохраняется классическая логика для утверждений, валидных во всех точных интерпретациях (включая многие логические законы), но бивалентность нарушается локально; L оказывается ни истинным, ни ложным.
- Параконсистентные теории / диалетизм (Priest и др.).
- Идея: допустить, что некоторые предложения одновременно истинны и ложны (дублеты), и использовать неклассическую логику, не выводящую из противоречия всего (отказ от принципа взрыва).
- Последствия: можно оставить наивную T‑схему и самореференцию; логика меняется (нет взрыва), появляются «истинные противоречия» — философски спорно, но формально согласовано.
- Теория ревизий (Gupta–Belnap).
- Идея: итеративно уточнять множество истинных формул по правилу ревизии; допускается, что для некоторых предложений нет устойчивой фикс‑точки (они «осциллируют»).
- Последствия: даёт описательную процедуру и объясняет разные поведения предложений; отказывается от одного глобального удовлетворяющего T‑схемы предиката в классическом смысле.
- Аксиоматические подходы (KF, CT^- и др.).
- Идея: формализовать предикат истины в арифметике или логике через аккуратно выбранный набор аксиом, ограничивающих применение T‑схемы (например, только для формул без кавычек, или с ограничениями на иерархию).
- Последствия: технические результаты о согласованности и консервативности над базовой теорией; полная наивная теория истины остаётся неприменимой из‑за теорем типа Тэ́рски/Гёделя.
3) Что теряется или сохраняется (сводка).
- Если сохраняем T‑схему и самореференцию в полном виде, то надо менять логику (параконсистентность) или признать истинность и ложность одновременно.
- Если сохраняем классическую логику и T‑схему, то нужно запретить самореференцию (иерархия Тарского) — теряем глобальную предикативную истину.
- Если вводим частичность (Kripke, супервалуация), то теряем бивалентность для некоторых выражений, но обычно сохраняем большинство классических виводов.
- Теоретически важно: нельзя внутри достаточно выразительного языка определить предикат истины, удовлетворяющий полной T‑схеме, без противоречия (неопределимость/неопределимость Тарского / связь с теоремой Гёделя).
Рекомендация (кратко): выбор формализации зависит от того, какие интуиции вы хотите сохранить — классическую логику, универсальность предиката истины, или допуск самореференции. Каждый путь имеет чёткие формальные последствия для теории истины.