Для вывода формулы найдем зависимость между угловой скоростью и линейной скоростью шарика на установке.

Из геометрических соображений можно записать:
L α = r β,

где L - длина нити, r - радиус окружности, по которой движется шарик.

Также, для малых углов α и β, угловая скорость вращения шарика будет равна угловой скорости маятника:
ω = v / r,
где ω - угловая скорость шарика, v - линейная скорость шарика.

Тогда по закону сохранения момента импульса:
L = I * ω,

где I - момент инерции шарика относительно оси вращения.

Таким образом, угловая скорость шарика при отклонении на угол β:
ω = L / I = r * β / I,

и, соответственно, линейная скорость шарика в момент отклонения на угол β:
v = ω r = (r β / I) r = r^2 β / I.

Таким образом, получаем итоговую формулу для скорости шарика в момент отклонения нити на угол β:
v = r^2 * β / I.