Для начала построим траекторию движения конца стержня при наматывании нити на коробку. Для этого будем проводить конец стержня по окружностям радиусом, равным длине нити. При этом конец стержня будет двигаться по спирали.

Длина нити L = 2(a+b), значит радиус окружности, по которой будет двигаться конец стержня, равен a+b.

Теперь найдем путь, пройденный концом стержня к моменту полного наматывания нити на коробку. Путь подсчитаем как длина спирали, которую описывает конец стержня.

Длина спирали вычисляется по формуле:

S = √(r² + (2πrn)²),

где r - радиус окружности, n - количество оборотов.

Поскольку нить наматывается полностью на коробку, количество оборотов n = L/(2πr) = (2(a+b))/(2π(a+b)) = 1/π.

Таким образом, искомый путь равен:

S = √((a+b)² + (2π(a+b)⋅(1/π))²) = √((a+b)² + 4π²(a+b)²) = √((1 + 4π²)(a+b)²) = √(1 + 4π²)⋅(a+b).

Ответ: Путь, пройденный концом стержня к моменту полного наматывания нити на коробку, равен √(1 + 4π²)⋅(a+b).