Период колебаний пружинного маятника зависит от формулы:

T = 2π√(m/k),

где m - масса шарика, k - жесткость пружины.

Плотность шарика выражается через массу и объем:

ρ = m/V,

где V = (4/3)πr^3 - объем шарика, r - радиус шарика.

Из этих формул следует, что масса m = ρV = ρ(4/3)πr^3.

Значит, период колебаний T = 2π√[(ρ(4/3)πr^3) / k] = 2π√[(4ρr^3) / (3k)] = 2π(2/3)√(ρr^3/k) = (4π/3)√(ρr^3/k).

Если заменить шарик на другой шарик с радиусом r/2 и плотностью 4ρ, то получим новый период колебаний:

T' = (4π/3)√((4ρ)(r/2)^3 / k) = (4π/3)√(4ρr^3 / (8k)) = (4π/3)√(ρr^3 / (2k)) = (2π/3)√(ρr^3 / k),

Отношение периодов T/T' = [(4π/3)√(ρr^3/k)] / [(2π/3)√(ρr^3/k)] = 2/1 = 2.

Таким образом, период колебаний пружинного маятника уменьшится в 2 раза.