Для нахождения расстояния α, при котором расстояние β минимально, воспользуемся правилом построения изображений для двояковыпуклой линзы.

Известно, что для двояковыпуклой линзы действительное изображение предмета будет находиться между фокусными плоскостями линзы.

Рассмотрим два луча: один параллельный главной оптической оси линзы, а другой проходящий через фокус линзы. Пересечение этих лучей даст положение действительного изображения предмета.

Пусть расстояние от предмета до линзы равно α, а расстояние от линзы до изображения равно β.

Используя формулу тонкой линзы, имеем:

1/α + 1/β = 1/ƒ.

Так как нам нужно найти минимальное значение β, то мы можем воспользоваться тем фактом, что когда α + β равно расстоянию между фокусом и линзой, то β будет минимальным.

Таким образом, α + ƒ = β.

Подставляем это в уравнение для тонкой линзы:

1/α + 1/(α + ƒ) = 1/ƒ.

Упрощаем:

(α + ƒ + α)/(α(α + ƒ)) = 1/ƒ,

(2α + ƒ)/(α² + αƒ) = 1/ƒ,

2α + ƒ = α² + αƒ,

α² - αƒ - ƒ = 0.

Получаем квадратное уравнение относительно α:

α = (ƒ ± √(ƒ² + 4ƒ))/(2).

Найдем α при котором расстояние β будет минимально, то есть при положительном знаке перед корнем.

α = (ƒ + √(ƒ² + 4ƒ))/(2).

Таким образом, расстояние α, при котором расстояние β от предмета до его действительного изображения будет минимальным, равно (ƒ + √(ƒ² + 4ƒ))/(2) в единицах фокусного расстояния ƒ.