Для решения данной задачи воспользуемся уравнением движения ракеты:

h(t) = h0 + v0t - (1/2)gt^2,

где h(t) - высота ракеты в момент времени t, h0 = 30 км - начальная высота ракеты, v0 = 1 км/с - начальная вертикальная скорость ракеты после выключения двигателей, g = 10 м/с^2 - ускорение свободного падения.

Для нахождения наибольшей высоты достигнутой ракетой, найдем момент времени t, при котором вертикальная скорость ракеты станет равной нулю:

v(t) = v0 - gt = 0,
1 - 10t = 0,
t = 0.1 с.

Подставляем найденное значение времени t обратно в уравнение движения ракеты:

h(0.1) = 30 + 10.1 - 0.510(0.1)^2 = 30 + 0.1 - 0.510*0.01 = 30 + 0.1 - 0.05 = 30.05 км.

Таким образом, ракета достигнет наибольшей высоты в 30.05 км.

Чтобы найти время, через которое ракета окажется на высоте 30 км, решим уравнение движения ракеты для h(t) = 30:

30 = 30 + 1t - 0.510t^2,
1t - 0.510t^2 = 0,
t(1 - 5t) = 0.

Отсюда получаем два возможных значения времени: t1 = 0 и t2 = 1/5 = 0,2 с.

Таким образом, через 0.2 с после прекращения работы двигателей ракета окажется на высоте 30 км.