Для решения этой задачи нам потребуется применить законы сохранения энергии и момента импульса.

Запишем закон сохранения момента импульса относительно оси падения (нижнего конца карандаша):

l m v = I * ω

где l - расстояние от оси падения до середины карандаша, m - масса карандаша, v - линейная скорость середины карандаша, I - момент инерции карандаша относительно оси падения, ω - угловая скорость карандаша. Так как карандаш считается однородным тонким стержнем, то момент инерции равен (m*l^2)/12.

Запишем закон сохранения энергии относительно высоты падения:

mgh = 0 + 0.5Iω^2 + 0.5mv^2

где m - масса карандаша, h - высота падения. Так как начальная кинетическая энергия и начентиальная энергия равны нулю, то уравнение упрощается до mgh = 0.5Iω^2 + 0.5mv^2.

Подставляем выражение для момента инерции I = (m*l^2)/12 в уравнение сохранения энергии:

mgh = 0.5(ml^2/12)(ω^2) + 0.5m*v^2

Подставляем выражение для угловой скорости из закона сохранения момента импульса:

mgh = 0.5(ml^2/12)((lmv)/(l/2m))^2 + 0.5mv^2

Решаем полученное уравнение относительно скорости v. Получаем:

v = √(24gh/5π)

Теперь найдем угловую скорость ω:

ω = (lmv)/(l/2*m) = 2v/l

Подставляем данные: l = 15 см = 0.15 м, g = 9.8 м/с^2 и находим скорость v:

v = √(249.80.15)/(5π) ≈ 1.14 м/с

Подставляем найденную скорость v для нахождения угловой скорости ω:

ω = 2*1.14/0.15 ≈ 15.2 рад/с

Итак, в конце падения середина карандаша имеет линейную скорость примерно 1.14 м/с и угловую скорость около 15.2 рад/с.