Рассмотрим тело массы m, движущееся по горизонтальной поверхности с коэффициентом трения μ.

Сила трения, действующая на тело, равна Fтр = μN, где N - нормальная реакция поверхности.

Рассмотрим работу силы трения на перемещении тела на расстояние d. Работа силы трения равна:

Aтр = Fтр d = μN d

Нормальная реакция N равна силе тяжести, действующей на тело: N = mg, где g - ускорение свободного падения.

Подставим выражение для N:

Aтр = μmgd

Также работа силы трения может быть выражена как изменение потенциальной энергии тела за счет трения:

Aтр = ΔЕпот = Епот2 - Епот1

где Епот1 - потенциальная энергия тела в начальной точке (например, кинетическая энергия), Епот2 - потенциальная энергия тела в конечной точке (например, нулевая энергия, если тело остановилось).

Также работу силы трения можно выразить через изменение кинетической энергии тела:

Aтр = ΔЕкин = Екин2 - Екин1

где Екин1 - кинетическая энергия тела в начальной точке, Екин2 - кинетическая энергия тела в конечной точке.

Таким образом, работа силы трения может быть равна как изменению потенциальной энергии, так и изменению кинетической энергии тела, что доказывает равенство Aтр = Епот - Екин.