Для решения данной задачи воспользуемся формулой работы электрического поля:

(W = q \cdot \Delta V),

где W - работа электрического поля, q - заряд частицы, (\Delta V) - разность потенциалов между начальной и конечной точками пути.

Также известно, что работа электрического поля равна изменению кинетической энергии частицы:

(W = \Delta K),

где (\Delta K) - изменение кинетической энергии.

Исходя из данных задачи, изменение кинетической энергии частицы равно:

(\Delta K = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2)),

(\Delta K = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 10^{-9} \cdot (900^2 - 500^2) = 300 \cdot 10^{-9} \cdot (810000 - 250000) = 300 \cdot 10^{-9} \cdot 560000 = 0.168\, \text{Дж}).

Таким образом, работа электрического поля равна 0.168 Дж. Тогда разность потенциалов между начальной и конечной точками пути равна:

(\Delta V = \frac{W}{q} = \frac{0.168}{5 \cdot 10^{-12}} = 33600 \, \text{В}).

Ответ: разность потенциалов начальной и конечной точек пути равна 33600 В.