Дано: Период колебаний $T$
Амплитуда колебаний $A$
Смещение точки $x_1 = 11,2$ см
Скорость точки при смещении $x_1$ $v_1 = 4,3$ см/с
Смещение точки $x_2 = 8,7$ см
Скорость точки при смещении $x_2$ $v_2 = 6,9$ см/с

Решение: Уравнения движения материальной точки при гармонических колебаниях имеют вид:

$$x(t) = A \cdot \sin(\omega t)$$
$$v(t) = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega t)$$

Где:
$x(t)$ - положение точки в момент времени $t$
$v(t)$ - скорость точки в момент времени $t$
$A$ - амплитуда колебаний
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ - угловая частота колебаний

Из условий задачи можно записать уравнения для смещения и скорости точки в моменты времени $t=0$ и $t=\frac{T}{4}$:

При $t=0$:
$$x(0) = A \cdot \sin(0) = 0$$
$$v(0) = A \cdot \omega \cdot \cos(0) = A \cdot \omega$$

При $t=\frac{T}{4}$:
$$x\left(\frac{T}{4}\right) = A \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = A$$
$$v\left(\frac{T}{4}\right) = A \cdot \omega \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$

С учетом данных о смещениях $x_1$ и $x_2$, скоростях $v_1$ и $v_2$, получаем систему уравнений:

$$A \cdot \omega = v_1 \quad (1)$$
$$A = x_1 \quad (2)$$
$$A = x_2 \quad (3)$$
$$A \cdot \omega = v_2 \quad (4)$$

Из уравнения (2) следует, что $A = x_1 = 11,2$ см.

Из уравнений (1) и (4) найдем угловую частоту $\omega$:

$$\omega = \frac{v_1}{A} = \frac{4,3}{11,2} \, \text{см/с} \cdot \frac{1}{11,2} \, \text{см}^{-1} = 0,3839 \, \text{с}^{-1}$$

Подставляя $\omega$ в уравнение (3), найдем амплитуду колебаний $A$:

$$A = x_2 = 8,7 \, \text{см}$$

Ответ: Амплитуда колебаний $A = 8,7$ см.