Кратко — механизм и ключевые формулы, затем ограничения.
Механизм в BCS:
- Идея: фермионная жидкость при наличии эффективного слабого притяжения между электронами на фоне заполненного Ферми‑сферы образует спаренные состояния (Куперовы пары), которые конденсируются в когерентное состояние с энергоразрывом (gap) на Ферми‑поверхности. В BCS это притяжение возникает за счёт обмена фононов (электрон‑фононное взаимодействие).
- Волновая функция основного состояния (упрощённо): супергиггсовский когерентный куплетный анзаз
${\prod }_{\mathbf{k}}(u_{\mathbf{k}}+v_{\mathbf{k}}{c}_{\mathbf{k}\uparrow }^{†}{c}_{-\mathbf{k}\downarrow }^{†})|0⟩$.
- Самообусловленная щель $\Delta$ удовлетворяет уравнению BCS (в упрощении с окну частот $\hslash {\omega }_D$):
$$1=VN(0){\int }_0^{\hslash {\omega }_D}\frac{dϵ}{\sqrt{{ϵ}^2+{\Delta }^2}}\tanh \left(\frac{\sqrt{{ϵ}^2+{\Delta }^2}}{2k_{B}T}\right),$$ где $V$ — эффективное притяжение, $N(0)$ — плотность состояний на Ферми‑уровне, ${\omega }_D$ — характерная фононная частота.
- В слабом связывании приближённо
$$k_B{T}_c\approx 1.14\hslash {\omega }_D\exp (-\frac{1}{N(0)V}),\Delta (0)\approx 1.76k_B{T}_c,$$ даёт универсальное соотношение в слабой куппинговой области $2\Delta (0)/k_B{T}_c\approx 3.53$.
- Физические следствия: энергоразрыв $\Delta$ (экспоненциальное подавление плотности состояний у $E_F$), безсопротивленное течение тока (когерентность пар), эффект Мейснера (экспульсия магнитного поля), длина когерентности
${\xi }_0\sim \hslash v_F/(\pi \Delta )$.
- Изотопический эффект: при доминирующей роли фононов $T_c\propto M^{-1/2}$ (масса ионов $M$) — одно из ранних подтверждений фононного механизма.
Ограничения BCS при объяснении высокотемпературной сверхпроводимости:
1. Слабое связывание и адiabатичность:
- BCS предполагает $\hslash {\omega }_D\ll E_F$ и применимость приближения Мигдала (пренебрежение поправками порядка ${\omega }_D/E_F$). В сильносвязаных системах и при больших $\omega$ это может не выполняться.
2. Электрон‑фононный механизм не всегда достаточен:
- Для многих ВТСП (высокотемпературных сверхпроводников), особенно купратов, рассчитанное по обычному электрон‑фононному механизму $T_c$ слишком мало; вместо фононов вероятно действуют спиновые флуктуации или иные нелокальные возбудения.
3. Сильные электронные корреляции и близость к Мотту‑инсулятору:
- Купраты и многие органические/тяжёлые‑фермионные сверхпроводники имеют сильную кулоновскую локализацию, нарушение представления о ферми‑жидкости — BCS строится на нормальном состоянии как на квазичастичной Ферми‑жидкости, что здесь неверно.
4. Симметрия волновой функции пар:
- BCS в простейшей форме предполагает s‑волновое безузловое спаривание. В купратах наблюдается d‑волновая симметрия (ноды gap), в железосодержащих — s± и т.д. Это требует иной (часто антисфермионной/обменной) природы сцепления.
5. Короткая длина когерентности:
- В ВТСП $\xi$ может сравниваться с межатомным расстоянием, тогда представление о сильно перекрывающихся парах (BCS) теряет смысл; возможно перекат BCS–BEC и локализованные пары.
6. Нестандартные нормальные состояния:
- "Странная жидкость" и псевдощель в нормальном состоянии купратов не укладываются в рамки квазичастиц BCS; требуются неквантово‑классические методы (динамическая МФТ, квантовый МС, вариационные подходы).
7. Теоретическая сложность и неполнота:
- Расширение BCS — теория Элиашберга — включает сильное электрон‑фононное взаимодействие и частично снимает ограничения слабого связывания, но остаётся привязана к фононной парящей «скобке» и часто не объясняет нестандартные свойства ВТСП.
Коротко о практических последствиях:
- Некоторые высоко‑Tc материалы (например, MgB2) действительно хорошо описываются расширенным электрон‑фононным (многополосным) BCS/Элиашберг‑подходом.
- Для купратов, железных сверхпроводников и многих органических/тяжёлых систем требуется учёт сильных корреляций и неглжувной природы клеящего взаимодействия (спиновые флуктуации, обменная корреляция), а также методов, выходящих за пределы стандартного BCS‑подхода.
Вывод: BCS даёт фундаментальное и успешное объяснение традиционных (низкотемпературных) сверхпроводников и ряд количественных формул, но в силу предпосылок слабого связывания, фононной природы клеящего взаимодействия и ферми‑жидкостных допущений не в состоянии полностью объяснить многие явления и высокие значения $T_c$ в неклассических сверхпроводниках — для них необходимы более общие, неклассические теории.