Для гармонического осциллятора, описанного в квантовой механике, решение уравнения Шредингера позволяет найти энергетические уровни системы. Уравнение Шредингера имеет вид:

[
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \psi(x) = E \psi(x),
]

где ( \hbar ) — редуцированная постоянная Планка, ( m ) — масса осциллятора, ( \omega ) — угловая частота, ( x ) — координата, ( E ) — энергия, а ( \psi(x) ) — волновая функция.

Для гармонического осциллятора энергии уровней выражаются через формулу:

[
E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega,
]

где ( n ) — квантовое число, принимающее неотрицательные целые значения (0, 1, 2, ...).

Таким образом, для основного состояния осциллятора (где ( n = 0 )) энергия ( E_0 ) равна:

[
E_0 = \left(0 + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega = \frac{1}{2} \hbar \omega.
]

Это и есть энергия основного состояния гармонического осциллятора.