Чтобы найти начальный импульс, импульс через время ( t ) и силу, вызвавшую изменение импульса, нужно сначала определить скорость материальной точки, а затем использовать эти значения для расчета импульса и силы.

Определим скорость ( v(t) ):
Скорость является производной от положения по времени:

[
v(t) = \frac{dx(t)}{dt}
]

Для данного уравнения позиции:

[
x(t) = 15 + 3t + 4t^2
]

Сначала найдём производную:

[
v(t) = \frac{d}{dt}(15 + 3t + 4t^2) = 3 + 8t
]

Начальный импульс ( p(0) ):
Начальный импульс определяется как:

[
p(0) = m \cdot v(0)
]

Сначала находим скорость в ( t = 0 ):

[
v(0) = 3 + 8 \cdot 0 = 3 \, \text{м/с}
]

Теперь можем найти начальный импульс:

[
p(0) = m \cdot v(0) = 3 \cdot 3 = 9 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}
]

Импульс через время ( t = 4 \, \text{с} ):
Сначала найдем скорость в этот момент:

[
v(4) = 3 + 8 \cdot 4 = 3 + 32 = 35 \, \text{м/с}
]

Теперь находим импульс через 4 секунды:

[
p(4) = m \cdot v(4) = 3 \cdot 35 = 105 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}
]

Сила ( F ):
Сила можно определить как изменение импульса за время ( t ):

[
F = \frac{\Delta p}{\Delta t}
]

Где ( \Delta p = p(4) - p(0) ):

[
\Delta p = 105 - 9 = 96 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}
]

Теперь подставим в формулу для силы:

[
F = \frac{96}{4} = 24 \, \text{Н}
]

Таким образом, результаты:

Начальный импульс: ( 9 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} )Импульс через ( 4 \, \text{с} ): ( 105 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} )Сила, вызвавшая изменение импульса: ( 24 \, \text{Н} )