Для решения данной задачи необходимо учитывать влияние электростатического поля на период колебаний математического маятника.

Определения и предположения:

Период колебаний математического маятника без внешних воздействий описывается формулой ( T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} ), где ( L ) — длина маятника, а ( g ) — ускорение свободного падения (влияет на силу тяжести).На период колебаний также влияет сила, действующая на маятник, в данном случае электрическая сила от электростатического поля.

Эффект электростатического поля:

Если маятник помещен в электростатическое поле, то к его весу добавляется дополнительная сила, направленная вверх или вниз в зависимости от направления поля, что изменяет эффективное значение ускорения свободного падения ( g' ):
Если поле направлено вниз, то ( g' = g + \frac{F}{m} ) (где ( F ) — электрическая сила, ( m ) — масса маятника).Если поле направлено вверх, то ( g' = g - \frac{F}{m} ).

Сравнение периодов:

Из условий задачи знаем, что ( T_1 = 1 ) с (без поля) и ( T_2 = 2 ) с (с полем направленным вниз).Из формулы для периода можно записать:
[
T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
]
[
T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g + \frac{F}{m}}}
]

Находим отношение ( T_2 ) и ( T_1 ):
[
\frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{\sqrt{\frac{g}{g + \frac{F}{m}}}}
]
Подставляем значения:
[
\frac{2}{1} = \frac{1}{\sqrt{\frac{g}{g + \frac{F}{m}}}}
]
Возводим обе стороны в квадрат:
[
4 = \frac{g + \frac{F}{m}}{g}
]
Отсюда получаем:
[
g + \frac{F}{m} = 4g \implies \frac{F}{m} = 3g
]

Теперь найдем ( T_3 ) для случая, когда поле направлено вверх:
[
T_3 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g - \frac{F}{m}}}
]
Подставим ( \frac{F}{m} = 3g ):
[
T_3 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g - 3g}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{-2g}}
]
Это приводит к несуществующему значению:

Критерий:
Если поле производит силу, превышающую силу тяжести, это означает, что маятник становится невесомым (или наоборот). Если эта сила становится настолько велика, период колебания станет ненастоящим.

Поэтому в случае, если направить поле вверх, маятник не будет колебаться.

Таким образом, можно сказать, что не существует реального периода ( T_3 ) для данной конфигурации, так как возникает ситуация, когда силы перевешиваются, и колебания прекращаются (или становятся амплитудными).