Для нахождения скорости и ускорения частицы, заданной уравнением радиуса вектора ( x(t) = 3t^2 + 2\sqrt{t} ), нужно последовательно продифференцировать это уравнение по времени ( t ).

Найдём скорость частицы ( v(t) ), которая является первой производной радиуса вектора по времени:
[
v(t) = \frac{dx(t)}{dt}
]
Вычислим производную:
[
x(t) = 3t^2 + 2t^{1/2}
]
[
v(t) = \frac{d}{dt}(3t^2) + \frac{d}{dt}(2t^{1/2}) = 6t + 2 \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2} = 6t + \frac{1}{\sqrt{t}}
]

Таким образом, скорость частицы выражается как:
[
v(t) = 6t + \frac{1}{\sqrt{t}}
]

Найдём ускорение частицы ( a(t) ), которое является второй производной радиуса вектора по времени:
[
a(t) = \frac{dv(t)}{dt}
]
Теперь найдем производную:
[
a(t) = \frac{d}{dt}\left(6t + \frac{1}{\sqrt{t}}\right) = 6 - \frac{1}{2} t^{-3/2}
]
Здесь (\frac{d}{dt}(t^{-1/2})) вычисляется как (-\frac{1}{2} t^{-3/2}).

Таким образом, ускорение частицы выражается как:
[
a(t) = 6 - \frac{1}{2}t^{-3/2}
]

Теперь вычислим скорость и ускорение при ( t = 10 ) секунд.

Скорость: [
v(10) = 6 \cdot 10 + \frac{1}{\sqrt{10}} = 60 + \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 60 + 0.316 = 60.316 \text{ м/с}
]

Ускорение: [
a(10) = 6 - \frac{1}{2 \cdot 10^{3/2}} = 6 - \frac{1}{2 \cdot 31.62} \approx 6 - 0.0158 \approx 5.9842 \text{ м/с}^2
]

Итоговые значения:

Скорость при ( t = 10 ) сек: ( v(10) \approx 60.316 \text{ м/с} )Ускорение при ( t = 10 ) сек: ( a(10) \approx 5.9842 \text{ м/с}^2 )