Чтобы найти скорость и ускорение частицы, нужно сначала получить производные от радиус-вектора ( x(t) = 3t^2 + 2\sqrt{t} ).

Найдем скорость:

Скорость ( v(t) ) является первой производной радиус-вектора по времени:

[
v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 2\sqrt{t})
]

Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования.

Производная ( 3t^2 ) равна ( 6t ).Производная ( 2\sqrt{t} ) равна ( 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = \frac{1}{\sqrt{t}} ).

Таким образом, скорость будет:

[
v(t) = 6t + \frac{1}{\sqrt{t}}
]

Найдем ускорение:

Степень ускорения ( a(t) ) является производной скорости по времени:

[
a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\left(6t + \frac{1}{\sqrt{t}}\right)
]

Производная ( 6t ) равна ( 6 ).Производная ( \frac{1}{\sqrt{t}} = t^{-1/2} ) равна ( -\frac{1}{2}t^{-3/2} = -\frac{1}{2\sqrt{t^3}} ).

Соберем полученные производные:

[
a(t) = 6 - \frac{1}{2\sqrt{t^3}}
]

Подставим значение ( t = 10 ) секунд:

Теперь найдем скорость и ускорение в момент времени ( t = 10 ) секунд.

Сначала подставляем в формулу для скорости:

[
v(10) = 6 \cdot 10 + \frac{1}{\sqrt{10}} = 60 + \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 60 + 0.316 = 60.316 \text{ (м/с)}
]

Теперь подставляем в формулу для ускорения:

[
a(10) = 6 - \frac{1}{2\sqrt{10^3}} = 6 - \frac{1}{2 \cdot 31.622} \approx 6 - 0.0158 \approx 5.9842 \text{ (м/с²)}
]

Таким образом, в момент времени ( t = 10 ) секунд:

Скорость ( v(10) \approx 60.316 \, \text{м/с} )Ускорение ( a(10) \approx 5.9842 \, \text{м/с}^2 )