Давайте решим каждую из задач по порядку.

Задача 1

Условия:

Начальная координата (x_0 = 5 \, \text{м})Начальная скорость (v_0 = 2 \, \text{м/с})Ускорение (a = 6 \, \text{м/с}^2)

1. Уравнение движения: Уравнение движения с постоянным ускорением имеет вид:
[
x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2
]
Подставляем известные значения:
[
x(t) = 5 + 2t + \frac{1}{2} \cdot 6 t^2
]
[
x(t) = 5 + 2t + 3t^2
]

2. Определим скорость и координату в момент времени (t = 5 \, \text{с}): Скорость можно вычислить по формуле:
[
v(t) = v_0 + a t
]
Подставим значения:
[
v(5) = 2 + 6 \cdot 5 = 2 + 30 = 32 \, \text{м/с}
]

Теперь найдем координату:
[
x(5) = 5 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2
]
[
x(5) = 5 + 10 + 3 \cdot 25 = 5 + 10 + 75 = 90 \, \text{м}
]

3. Найдем путь: Путь можно найти по формуле:
[
S = x(t) - x_0
]
[
S = 90 \, \text{м} - 5 \, \text{м} = 85 \, \text{м}
]

Задача 2

Условия:

Масса первого осколка (m_1 = 3 \, \text{кг})Масса второго осколка (m_2 = 5 \, \text{кг})Скорость первого осколка (v_1 = 30 \, \text{м/с})

По закону сохранения импульса:
[
m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0
]
Решаем уравнение относительно (v_2):
[
3 \cdot 30 + 5 v_2 = 0
]
[
90 + 5 v_2 = 0
]
[
5 v_2 = -90
]
[
v_2 = -18 \, \text{м/с}
]
(знак минус означает, что второй осколок движется в противоположную сторону).

Задача 3

Условия:

Масса автомобиля (m = 3.5 \, \text{т} = 3500 \, \text{кг})Скорость (v = 90 \, \text{км/ч} = 90 \cdot \frac{1000}{3600} = 25 \, \text{м/с})

1. Кинетическая энергия: [
K = \frac{1}{2} mv^2
]
Подставляем значения:
[
K = \frac{1}{2} \cdot 3500 \cdot 25^2
]
[
K = \frac{1}{2} \cdot 3500 \cdot 625 = 4375000 \, \text{Дж} = 4375 \, \text{кДж}
]

2. Работа силы трения: Работа, необходимая для остановки автомобиля, равна кинетической энергии:
[
A = K = 4375 \, \text{кДж}
]

Задача 4

Условия:

Масса груза (m = 50 \, \text{г} = 0.05 \, \text{кг})Скорость (v = 25 \, \text{м/с})Жесткость пружины (k = 200 \, \text{Н/м})

1. Потенциальная энергия пружины: Потенциальная энергия равна кинетической энергии груза перед ударом (при идеальных условиях):
[
E_p = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.05 \cdot 25^2
]
[
E_p = \frac{1}{2} \cdot 0.05 \cdot 625 = 15.625 \, \text{Дж}
]

2. Сжатие пружины: Уравняем потенциальную энергию пружины и энергию груза:
[
\frac{1}{2} k x^2 = E_p
]
[
\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot x^2 = 15.625
]
[
100 x^2 = 15.625
]
[
x^2 = \frac{15.625}{100} = 0.15625
]
[
x = \sqrt{0.15625} \approx 0.392 \, \text{м} = 39.2 \, \text{см}
]

Подводя итоги:Уравнение движения: (x(t) = 5 + 2t + 3t^2); скорость через 5 с: (32 \, \text{м/с}); координата: (90 \, \text{м}); путь: (85 \, \text{м}).Скорость второго осколка: (-18 \, \text{м/с}).Кинетическая энергия автомобиля: (4375 \, \text{кДж}); работа силы трения: (4375 \, \text{кДж}).Потенциальная энергия пружины: (15.625 \, \text{Дж}); сжатие пружины: приблизительно (39.2 \, \text{см}).