Для нахождения отрицательного заряда, который нужно поместить в центр квадрата для достижения равновесия системы, нужно рассмотреть силы, действующие на этот заряд.

Пусть стороны квадрата равны ( a ). Расположим положительные заряды ( Q = 10^{-7} \, \text{Кл} ) на вершинах квадрата. Каждый заряд будет отталкивать отрицательный заряд в центре.

Силы, действующие на заряд в центре, будут равнодействующими, если они будут равны по величине и направлены в противоположные стороны для всех пар вертикально или горизонтально расположенных зарядов.

Сила, действующая между двумя зарядами, определяется законом Кулона:

[
F = k \frac{|Q_1 Q_2|}{r^2}
]

где:

( k ) — электростатическая постоянная (( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 )),( Q_1 ) и ( Q_2 ) — величины зарядов,( r ) — расстояние между ними.

Расстояние от центра квадрата до любой его вершины составляет:

[
r = \frac{a}{\sqrt{2}}
]

Сила, действующая на заряд в центре квадрата со стороны одного положительного заряда, равна:

[
F = k \frac{|Q q|}{\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2} = k \frac{|Q q| \cdot 2}{a^2}
]

где ( q ) — заряд, который мы помещаем в центр квадрата.

В случае симметричного расположения зарядов, суммарная сила на отрицательный заряд ( q ) будет равна сумме сил от всех четырёх положительных зарядов.

Суммарная сила ( F_{\text{total}} ) будет равна:

[
F_{\text{total}} = 4 \cdot F = 4 \cdot k \frac{|Q q| \cdot 2}{a^2} = \frac{8kQq}{a^2}
]

Для равновесия эта сила должна быть равна весу отрицательного заряда, который действует вниз, если заряд ( q ) помещен в центр. Однако, поскольку мы не учитываем вес заряда (он может быть незначителен по сравнению с электростатическими силами), равновесие станет возможным, если сумма сил со всех сторон будет равна нулю. На диагоналях, каждая пара зарядов будет давать силу, направленную к центру.

При этом условии уравновесие достигается тем, что:

[
F_{\text{total}} = 0
]

Чтобы определить, какой заряд ( q ) необходим, мы можем предположить, что сумма сил должна быть нулевой (при этом используем знак):

Сила, действующая на отрицательный заряд, получает свой эквивалент:

[
F_{q} = k \frac{|Qq|}{r^2}
]

Так как ( q ) должно быть отрицательным, если ( F{q} = |F{\text{total}}| ):

[
|q| = \frac{8kQ|q|}{a^2}
]

Сравнивая силы, мы можем найти ( q ) (знак при этом будет отрицательным).

Эта схема дает схематическое равновесие и помогает понять, что нужно помещать отрицательный заряд, равный по модулю ( Q) для полной компенсации на каждой из сторон.

На практике мы можем исследовать конкретные значения отталкивающих сил и затем стремиться к равновесию.

Таким образом, конечный ответ:

Необходимо поместить заряд ( q = -Q = -10^{-7} \, \text{Кл} ) в центр квадрата, чтобы система находилась в равновесии.