Для решения задачи нам нужно использовать закон Ома и формулу для расчета сопротивления проводника.

Сначала находим общее сопротивление цепи до добавления стального провода:

[
R_{total1} = \frac{U}{I} = \frac{U}{10 \, А}
]

где ( U ) - напряжение в цепи. Но мы ещё его не знаем, и пока не будем его вычислять.

Сопротивление 12 Ом уже дано, поэтому:

[
R_{total1} = 12 \, Ом
]

После того как к проводнику добавили стальной провод, сила тока в цепи стала 5 А. Теперь общее сопротивление цепи будет:

[
R_{total2} = \frac{U}{I} = \frac{U}{5 \, А}
]

Мы знаем, что напряжение ( U ) остается постоянным. Теперь можем выразить ( R_{total2} ):

[
R{total2} = \frac{U}{5} = \frac{10 \, \cdot \, R{total1}}{5} = 2 \cdot R_{total1} = 2 \cdot 12 = 24 \, Ом
]

Поскольку стальной провод присоединен последовательно, общее сопротивление будет равно:

[
R_{total2} = R_1 + R_2
]

где ( R_1 = 12 \, Ом ) - сопротивление первоначального проводника, ( R_2 ) - сопротивление стального провода. Подставим известные значения:

[
24 = 12 + R_{steel}
]

Таким образом:

[
R_{steel} = 24 - 12 = 12 \, Ом
]

Теперь найдём длину стального провода. Сопротивление проводника рассчитывается по формуле:

[
R = \rho \frac{L}{S}
]

где:

( R ) - сопротивление (12 Ом),( \rho ) - удельное сопротивление (0,1 (Ом * мм²)/м),( L ) - длина проводника (в метрах),( S ) - площадь поперечного сечения (1 мм² = 1 * 10^{-6} м²).

Подставим известные значения и найдем ( L ):

[
12 = 0.1 \cdot \frac{L}{1 \cdot 10^{-6}}
]

Умножим обе стороны на ( 1 \cdot 10^{-6} ):

[
12 \cdot 1 \cdot 10^{-6} = 0.1 \cdot L
]

[
L = \frac{12 \cdot 1 \cdot 10^{-6}}{0.1} = \frac{12 \cdot 10^{-6}}{0.1} = 120 \cdot 10^{-6} = 0.00012 \, м = 0.12 \, м
]

Таким образом, длина стального провода равна 0.12 метра или 12 см.